Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima lo suficiente por el plano tangente a la superficie en dicho punto. Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides: Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura. Euclides, Los Elementos, Libro I, definición 5ª.

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In topology and differential geometry, a surface is a two-dimensional manifold, and, as such, may be an "abstract surface" not embedded in any Euclidean space. For example, the Klein bottle is a surface, which cannot be represented in the three-dimensional Euclidean space without introducing self-intersections (it cannot be embedded in the three dimensional Euclidean space).

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