En álgebra conmutativa, y geometría algebraica, un módulo plano sobre un anillo R es un R-módulo M tal que se preserva sucesiones exactas al tomar el producto tensorial sobre R con M. Un módulo es fielmente plano si al tomar el producto tensorial se produce una sucesión exacta si y sólo si la sucesión original es exacta. Los espacios vectoriales sobre un campo son módulos planos. Los módulos libres, o más generalmente los módulos proyectivos, son planos sobre cualquier R. Para módulos finitamente generados sobre un anillo local noetheriano, las propiedades de ser proyectivos, planos y libres son equivalentes. Los módulos planos fueron introducidos por Jean-Pierre Serre(1956) en su artículo Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique. Véase también morfismo plano.

Leer el artículo completo en Wikipedia · CC-BY-SA

In homological algebra and algebraic geometry, a flat module over a ring R is an R-module M such that taking the tensor product over R with M preserves exact sequences. A module is faithfully flat if taking the tensor product with a sequence produces an exact sequence if and only if the original sequence is exact. Vector spaces over a field are flat modules. Free modules, or more generally projective modules, are also flat, over any R. For finitely generated modules over a Noetherian ring, flatness and projectivity are equivalent. For finitely generated modules over local rings, flatness, projectivity and freeness are all equivalent. The field of quotients of an integral domain, and, more generally, any localization of a commutative ring are flat modules. The product of the local rings of a commutative ring is a faithfully flat module. Flatness was introduced by Serre () in his paper Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique. See also flat morphism.

Leer el artículo completo en Wikipedia · CC-BY-SA