En matemáticas, un orden total, orden lineal, orden simple, o simplemente orden en un conjunto X es una relación binaria sobre X que es: reflexiva, transitiva, antisimétrica, y total; esto es, si se denota una tal relación por ≤, lo siguiente vale para cualesquiera a, b, y c en X: \n* si a pertenece a X, entonces a ≤ a (reflexiva). \n* Si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c (transitividad). \n* Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b (antisimetría). \n* a ≤ b o b ≤ a (totalidad o completitud). La propiedad de totalidad de esta relación se puede también describir como que todo par de elementos son comparables bajo la relación. Por tanto, un orden total es un orden parcial que cumple la comparabilidad. Un conjunto dotado de un orden total se denomina conjunto totalmente ordenado, linealmente ordenado, simplemente ordenado, o cadena. Nótese que la condición de totalidad implica reflexividad, esto es, a ≤ a para todo a ∈ X; por lo tanto, un orden total es también un orden parcial, esto es, una relación binaria reflexiva, antisimétrica, y transitiva. Un orden total, entonces, puede también definirse como un orden parcial que sea "total", i.e. que cumpla con la condición de totalidad. Como alternativa, se puede definir un conjunto totalmente ordenado como un tipo particular de retículo, en el que se tiene {a ∨ b, a ∧ b} = {a, b} para cualesquiera a, b. Se escribe entonces a ≤ b si y solo si a = a ∧ b. Se deduce que un conjunto totalmente ordenado es un retículo distributivo. Los conjuntos totalmente ordenados forman una subcategoría completa de la categoría de conjuntos parcialmente ordenados, siendo los morfismos funciones que respetan el orden, es decir, funciones f tales que si a ≤ b entonces f(a) ≤ f(b). Una función biyectiva entre dos conjuntos totalmente ordenados que respete los dos órdenes es un isomorfismo en esta categoría.

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In mathematics, a linear order, total order, simple order, or (non-strict) ordering is a binary relation on some set , which is antisymmetric, transitive, and total (this relation is denoted here by infix ). A set paired with a total order is called a totally ordered set, a linearly ordered set, a simply ordered set, or a chain. If is totally ordered under , then the following statements hold for all and in : If and then (antisymmetry); If and then (transitivity); or (totality). Antisymmetry eliminates uncertain cases when both precedes and precedes . A relation having the property of "totality" means that any pair of elements in the set of the relation are comparable under the relation. This also means that the set can be diagrammed as a line of elements, giving it the name linear. Totality also implies reflexivity, i.e., a ≤ a. Therefore, a total order is also a partial order. The partial order has a weaker form of the third condition. (It requires only reflexivity, not totality.) An extension of a given partial order to a total order is called a linear extension of that partial order.

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